题目内容
(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
已知椭圆的方程为,、和为的三个顶点.
(1)若点满足,求点的坐标;
(2)设直线交椭圆于、两点,交直线于点.若,证明:为的中点;
(3)设点在椭圆内且不在轴上,如何构作过中点的直线,使得与椭圆的两个交点、满足?令,,点的坐标是(-8,-1),若椭圆上的点、满足,求点、的坐标.
解析:(1) ;
(2) 由方程组,消y得方程,
因为直线交椭圆于、两点,
所以D>0,即,
设C(x1,y1)、D(x2,y2),CD中点坐标为(x0,y0),
则,
由方程组,消y得方程(k2-k1)x=p,
又因为,所以,
故E为CD的中点;
(3) 因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上,所以点F在椭圆Γ内,可以求得直线OF的斜率k2,由知F为P1P2的中点,根据(2)可得直线l的斜率,从而得直线l的方程.
,直线OF的斜率,直线l的斜率,
解方程组,消y:x2-2x-48=0,解得P1(-6,-4)、P2(8,3).
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