题目内容
【题目】设函数f(x)=aln(x+1),g(x)=ex﹣1,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数.
(Ⅰ)当x≥0时,f(x)≤g(x)恒成立,求a的取值范围;
(Ⅱ)求证: <
<
(参考数据:ln1.1≈0.095).
【答案】解:(Ⅰ)令h(x)=g(x)﹣f(x),
当x≥0时,h(x)=g(x)﹣f(x)=ex﹣1﹣aln(x+1),h'(x)=ex﹣ ,
(ⅰ)若a≤1,则 <1<ex,h'(x)>0,h(x)在(0,+∞)递增,
h(x)≥h(0)=0,满足题意,
(ⅱ)若a>1,h'(x)=ex﹣ ,在(0,+∞)递增,h′(x)>h′(0)=1﹣a,1﹣a<0
且x→+∞时,h′(x)→+∞,则x0∈(0,+∞)使h'(x0)=0
进而h(x)在(0,x0)递减,在(x0,+∞)递增,存在h(x0)<h(0)=0,不合题意,
故a≤1;
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,a=1时,g(x)>f(x)对x>0恒成立,即ex>1+ln(x+1)
令x= ,则
>1+ln1.1≈1.0953>
,
而当a=﹣1时,g(x)>f(x)对x<0恒成立,即ex> x3+x+1,
令x=﹣ ,则
>
(﹣
)3﹣
+1≈
,即
<
,
∴ <
<
.
【解析】本题抓住1.“f(x)≤g(x)恒成立”结合导数求导及其单调性,分类讨论a的取值范围;2.注意观察清楚第二问的式子结合第一问的相关知识解题。
【考点精析】认真审题,首先需要了解函数的最大(小)值与导数(求函数在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值).
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】从某校随机抽取部分男生进行身体素质测试,获得掷实心球的成绩数据,整理得到数据分组及频率分布表,成绩在11.0米(精确到0.1米)以上(含)的男生为“优秀生”.
分组(米) | 频数 | 频率 |
[3.0,5.0) | 0.10 | |
[5.0,7.0) | 0.10 | |
[7.0,9.0) | 0.10 | |
[9.0,11.0) | 0.20 | |
[11.0,13.0) | 0.40 | |
[13.0,15.0) | 10 | |
合计 | 1.00 |
(Ⅰ)求参加测试的男生中“优秀生”的人数;
(Ⅱ)从参加测试男生的成绩中,根据表中分组情况,按分层抽样的方法抽取10名男生的成绩作为一个样本,再从该样本中任选2名男生的成绩,求至少选出1名男生的成绩不低于13.0米的概率;
(Ⅲ)若将这次测试的频率作为概率,从该校全体男生中随机抽取3人,记X表示3人中“优秀生”的人数,求X的分布列及数学期望.