题目内容
【题目】已知椭圆的焦距为2,点
在直线
上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若为坐标原点,
为直线
上一动点,过点
作直线与椭圆相切点于点
,求
面积
的最小值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)利用椭圆
的焦距为2,点
在直线
上,求出
,
,
,即可求椭圆
的标准方程;(2)设出切线方程和代入椭圆方程,求得关于
的一元二次方程,
,求得,求得
和
的关系,根据三角形的面积公式将面积
表示为关于
的函数,
利用导数可求得其最小值.
试题解析:(1)椭圆
的焦距为2,
,又点
在直线
上,
,
.故椭圆
的标准方程是
.
(2)由题意直线的斜率存在,设直线
的方程为
,设
,
.
由得
,相切
,
,且
,
,
.
,
.
当时,
,又
,
,
.
令
,则
,
由得
,
在
上单减,在
单增,
.即当
的斜率为
时,
面积
的最小值为
.
同理当时,
,当
的斜率为
时,
面积
的最小值为
.
综上, 面积
的最小值为
.
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