Question

【题目】如图，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求 的最小值；
（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR||OS|是定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可知：T（﹣2，0），∴a=2．又 ，a2=b2+c2，

联立解得a=2，c= ，b=1．

∴椭圆C的方程为 =1

（2）解：设M（x0，y0），N（x0，﹣y0）．

把点M的坐标代入椭圆方程可得： =1﹣ ．

= ﹣ = ﹣ = ﹣ ，

∵﹣2＜x0＜2，

∴当且仅当x0=﹣ 时， 取得最小值﹣

（3）证明：设P（x1，y1），

直线MP的方程为：y﹣y1= （x﹣x1），

令y=0，可得xR= ，

同理可得：xS= ，

∵点M，P都在椭圆上，

∴ =4 ， =4 ，

∴：|OR||OS|=xRxS= = =4是定值

【解析】（1）由题意可知：T（﹣2，0），a=2．又 ，a2=b2+c2 ， 联立解出即可得出．（2）设M（x0 ， y0），N（x0 ， ﹣y0）．把点M的坐标代入椭圆方程可得： =1﹣ ．利用数量积运算性质可得： = ﹣ ，﹣2＜x0＜2，再利用二次函数的单调性即可得出．（3）设P（x1 ， y1），直线MP的方程为：y﹣y1= （x﹣x1），令y=0，可得xR ， 同理可得：xS ， 利用点M，P都在椭圆上，及其|OR||OS|=xRxS即可证明．