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已知
、
分别是椭圆
的左、右焦点,右焦点
到上顶点的距离为2,若
.
(Ⅰ)求此椭圆的方程;
(Ⅱ)点
是椭圆的右顶点,直线
与椭圆交于
、
两点(
在第一象限内),又
、
是此椭圆上两点,并且满足
,求证:向量
与
共线.
试题答案
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(Ⅰ)
;(Ⅱ)详见解析.
试题分析:(Ⅰ)求此椭圆
的方程,由题意
到上顶点的距离为2,即
,
,再由
,即可求出
,从而得椭圆的方程;(Ⅱ)求证:向量
与
共线,即证
,由于点
是椭圆的右顶点,可得
,直线
与椭圆交于
、
两点(
在第一象限内),可由
,解得
,得
,只需求出直线
的斜率,由题意
,而
与
的平分线平行,可得
的平分线垂直于
轴,设
的斜率为
,则
的斜率
;因此
和
的方程分别为:
、
;其中
;分别代入椭圆方程,得
的表达式,从而可得直线
的斜率,从而可证.
试题解析:(Ⅰ)由题知:
(Ⅱ)因为:
,从而
与
的平分线平行,
所以
的平分线垂直于
轴;
由
不妨设
的斜率为
,则
的斜率
;因此
和
的方程分别为:
、
;其中
; 由
得;
,因为
在椭圆上;所以
是方程
的一个根;
从而;
同理:
;得
,
从而直线
的斜率
;又
、
;所以
;所以
所以向量
与
共线.
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已知椭圆C:
的离心率为
,长轴长为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线
交椭圆C于A、B两点,试问:在y轴正半轴上是否存在一个定点M满足
,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
已知圆锥曲线
的两个焦点坐标是
,且离心率为
;
(Ⅰ)求曲线
的方程;
(Ⅱ)设曲线
表示曲线
的
轴左边部分,若直线
与曲线
相交于
两点,求
的取值范围;
(Ⅲ)在条件(Ⅱ)下,如果
,且曲线
上存在点
,使
,求
的值.
已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点为
,点
是点
关于
轴的对称点,过点
的直线交抛物线于
两点。
(Ⅰ)试问在
轴上是否存在不同于点
的一点
,使得
与
轴所在的直线所成的锐角相等,若存在,求出定点
的坐标,若不存在说明理由。
(Ⅱ)若
的面积为
,求向量
的夹角;
已知点
(
,
是常数),且动点
到
轴的距离比到点
的距离小
.
(1)求动点
的轨迹
的方程;
(2)(i)已知点
,若曲线
上存在不同两点
、
满足
,求实数
的取值范围;
(ii)当
时,抛物线
上是否存在异于
、
的点
,使得经过
、
、
三点的圆和抛物线
在点
处有相同的切线,若存在,求出点
的坐标,若不存在,请说明理由.
如图,直线y=kx+b与椭圆
交于A、B两点,记△AOB的面积为S.
(1)求在k=0,0<b<1的条件下,S的最大值;
(2)当|AB|=2,S=1时,求直线AB的方程.
已知椭圆中心在原点,焦点在
轴上,焦距为2,离心率为
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线
经过点
(0,1),且与椭圆交于
两点,若
,求直线
的方程.
已知椭圆
抛物线
的焦点均在
轴上,
的中心和
的顶点均为坐标原点
从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:
(Ⅰ)求分别适合
的方程的点的坐标;
(Ⅱ)求
的标准方程.
已知椭圆
的离心率为
,过右焦点
且斜率为
的直线与
相交于
两点.若
,则
( )
A.1
B.
C.
D.2
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