题目内容
【题目】在四棱锥中,
平面
,
,
,且
,
,
.
(1)求证:;
(2)在线段上,是否存在一点
,使得二面角
的大小为
,如果存在,求
与平面
所成角的正弦值,如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析.(2).
【解析】分析:(1)由条件可得在直角梯形ABCD中可得,然后根据线面垂直的性质可得
,最后由线面垂直的判定定理得到
,于是可得
.(2)解决立体几何中的探索性问题,可利用向量的坐标运算求解.根据题意建立空间直角坐标系,假设存在满足题意的点M,由
可求得点M的坐标.在此基础上可得平面
的法向量
和平面
的法向量
,然后根据
求得
后再求线面角的正弦值.
详解:(1)由已知得四边形是直角梯形,
又,
,
所以是等腰直角三角形,故
.
因为,
所以,
又,
所以,
因为,
所以.
(2)建立如图所示空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
故,
设,可得
的坐标为
.
设是平面
的一个法向量,
由,得
,
令,可得
,
又是平面
的一个法向量,
由题意得
,
解得.
所以平面的一个法向量可取
,
,
设与平面
所成的角为
,
则,
故当点M是线段的中点时,可使得二面角
的大小为
,此时
与平面
所成角的正弦值为
.
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