Question

已知数列{a_n}满足S_n＋a_n＝2n＋1,  (1) 写出a₁, a₂, a₃,并推测a_n的表达式；
(2) 用数学归纳法证明所得的结论。

Answer 1

(1) a₁＝, a₂＝, a₃＝,          
猜测 a_n＝2－                   
(2)证明： ①由（1）已得当n＝1时，命题成立；        
②假设n＝k时,命题成立，即 a_k＝2－,      
当n＝k＋1时, a₁＋a₂＋……＋a_k＋a_k＋1＋a_k＋1＝2(k＋1)＋1,
且a₁＋a₂＋……＋a_k＝2k＋1－a_k
∴2k＋1－a_k＋2a_k＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,
∴2a_k＋1＝2＋2－,  a_k＋1＝2－,     即当n＝k＋1时,命题成立.  
综合(1),(2)可知：对于任意正整数n,都有 

略