Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右顶点的坐标分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e=

1

2

（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）设椭圆的两焦点分别为F₁，F₂，点P是其上的动点，
（1）当△PF₁F₂内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；
（2）若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由椭圆的顶点坐标得出a的值，再根据离心率公式e=

c

a

，由e和a的值求出c的值，由a与c的值利用椭圆的简单性质求出b的值，进而求得出椭圆C的方程；
（Ⅱ）（1）根据椭圆的定义，由c的值求出|F₁F₂|的值，设F₁F₂边上的高为h，利用三角形的面积公式表示出S△PF1F2，设△PF₁F₂内切圆的半径为R，根据△PF₁F₂的周长为2a+2c=6，利用半径乘周长的一半表示出S△PF1F2，由在椭圆上顶点求出h的最大值，进而得到S△PF1F2的最大值，得到R的最大值，求出内切圆圆心的坐标即可；
（2）把直线l方程代入椭圆C的方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，设出直线l与椭圆C的两交点坐标，根据根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，由A和M的坐标表示出直线AM的方程，求出直线AM与直线x=4的交点，同时求出直线BN与直线x=4的交点，把两交点的纵坐标相减，通分后，把表示出的两根之和与两根之积代入得到其值为0，从而得到两交点的纵坐标相等，由横坐标也相等，故直线AM与直线BN的交点在直线x=4上，得证．

解答：解：（Ⅰ）∵椭圆的顶点坐标分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e=

1

2

，
∴a=2，

c

a

=

1

2

，即c=1，
所以b=

a2-c2

=

3

，
则椭圆C的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1；（3分）
（Ⅱ）（1）求得|F₁F₂|=2c=2，设F₁F₂边上的高为h，所以S△PF1F2=

1

2

×2×h=h，
设△PF₁F₂内切圆的半径为R，因为△PF₁F₂的周长为定值6．所以

1

2

R×6=3R=S△PF1F2，
当P在椭圆上顶点时，h最大为

3

，
故S△PF1F2的最大值为

3

，
于是R随之最大值为

3

3

，
此时内切圆圆心的坐标为（0，±

3

3

）；（7分）
（2）将直线l：y=k（x-1）代入椭圆C方程

x2

4

+

y2

3

=1，
并整理得：（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0，
设直线l与椭圆C交点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由根系数的关系，得x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4(k2-3)

3+4k2

，又A（-2，0），
∴直线AM的方程为：y=

y1

x1+2

（x+2），它与直线x=4交点坐标为P（4，

6y1

x1+2

），
同理可求得直线BN与直线x=4的交点坐标为Q（4，

2y2

x2-2

）（11分）
下面证明P，Q两点重合，即证明P，Q两点的纵坐标相等：
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
∴

6y1

x1+2

-

2y2

x2-2

=

6k(x1-1)(x2-2)-2k(x2-1)(x1+2)

(x1+2)(x2-2)

=

2k[2x1x2-5(x1+x2)+8]

(x1+2)(x2-2)

=

2k[ 8(k2-3) 3+4k2 - 40k2 3+4k2 +8]

(x1+2)(x2-2)

=0，
此结论成立．
综上可知．直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．（13分）

点评：此题考查了直线与圆锥曲线的综合问题，用到的知识有椭圆的简单性质，根与系数的关系，直线的两点式方程及两直线的交点坐标，要求学生熟练掌握椭圆的第二定义及简单性质解决问题，第二问中的2小问思路为：将直线与椭圆的方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，由两点的坐标分别表示出直线AM与NB的方程，分别求出两直线方程与直线x=4的交点，然后利用作差法得出两交点的纵坐标相等，又横坐标也相等，从而得证．