Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求：点A到平面BD₁的距离；
（2）求点A₁到平面AB₁D₁的距离；
（3）求平面AB₁D₁与平面BC₁D的距离；
（4）求直线AB到CDA₁B₁的距离．

Answer 1

分析：（1）根据点A在平面BD₁内，即可求出点A到平面BD₁的距离；
（2）根据点A₁到平面AB₁D₁的距离是正方体的体对角线的

1

3

，而正方体的体对角线为

3

，即可求出点A₁到平面AB₁D₁的距离；
（3）根据平面AB₁D₁∥平面BC₁D，可知这两个平面将体对角线分成三等分，从而求出平面AB₁D₁与平面BC₁D的距离；
（4）先求出A到CDA₁B₁的距离，而AB∥平面CDA₁B₁，则直线AB到CDA₁B₁的距离等于点A到CDA₁B₁的距离．

解答：解：（1）因为点A在平面BD₁内
∴点A到平面BD₁的距离为0
（2）正方体的体对角线为

3

而点A₁到平面AB₁D₁的距离是正方体的体对角线的

1

3

∴点A₁到平面AB₁D₁的距离为

3

3

；
（3）平面AB₁D₁∥平面BC₁D
这两个平面将体对角线分成三等分
∴平面AB₁D₁与平面BC₁D的距离为

3

3

；
（4）∵AO⊥A₁D
∴A到CDA₁B₁的距离为AO=

2

2

而AB∥平面CDA₁B₁
∴直线AB到CDA₁B₁的距离

2

2

点评：本题主要考查了点到平面的距离，以及直线到平面的距离，同时考查了空间想象能力，计算推理能力，属于基础题．