题目内容
18、已知函数f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0），函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线与x轴平行．
（1）用关于m的代数式表示n．
（2）求函数f（x）的单调增区间．
（1）用关于m的代数式表示n．
（2）求函数f（x）的单调增区间．
分析：（1）先对函数f（x）进行求导，又根据f'（2）=0可得到关于m的代数式．
（2）将（1）中m的代数式n代入函数f（x）中消去n，可得f'（x）=3mx2-6mx，当f'（x）＞0时x的取值区间为所求．
（2）将（1）中m的代数式n代入函数f（x）中消去n，可得f'（x）=3mx2-6mx，当f'（x）＞0时x的取值区间为所求．
解答：解：（Ⅰ）由已知条件得f'（x）=3mx2+2nx，
又f'（2）=0，∴3m+n=0，故n=-3m．
（Ⅱ）∵n=-3m，∴f（x）=mx3-3mx2，∴f'（x）=3mx2-6mx．
令f'（x）＞0，即3mx2-6mx＞0，
当m＞0时，解得x＜0或x＞2，则函数f（x）的单调增区间是（-∞，0）和（2，+∞）；
当m＜0时，解得0＜x＜2，则函数f（x）的单调增区间是（0，2）．
综上，当m＞0时，函数f（x）的单调增区间是（-∞，0）和（2，+∞）；
当m＜0时，函数f（x）的单调增区间是（0，2）．
又f'（2）=0，∴3m+n=0，故n=-3m．
（Ⅱ）∵n=-3m，∴f（x）=mx3-3mx2，∴f'（x）=3mx2-6mx．
令f'（x）＞0，即3mx2-6mx＞0，
当m＞0时，解得x＜0或x＞2，则函数f（x）的单调增区间是（-∞，0）和（2，+∞）；
当m＜0时，解得0＜x＜2，则函数f（x）的单调增区间是（0，2）．
综上，当m＞0时，函数f（x）的单调增区间是（-∞，0）和（2，+∞）；
当m＜0时，函数f（x）的单调增区间是（0，2）．
点评：本题主要考查通过求函数的导数来求函数增减区间的问题．
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