Question

【题目】已知数列的前n项和为,且满足+n=2(n∈)

(1)证明:数列为等比数列,并求数列的通项公式;

(2)数列满足(n∈),其前n项和为,试求满足+>2018的最小正整数n.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)8.

【解析】分析：（1）利用公式an+1=Sn+1﹣Sn即可得出an+1+1=2（an+1），故数列{an+1}为等比数列，利用等比数列的通项公式得出an+1，从而得出an；

（2）化简bn=n2n﹣n，再使用分项求和和错位相减法求和得出Tn，进而解出n即可.

详解：

（1）∵Sn+n=2an，∴Sn+1+（n+1）=2an+1，

∴an+1+1=2an+1﹣2an，即an+1+1=2（an+1），

又a1+1=2a1，∴a1=1．

∴{an+1}是以2为首选，以2为公比的等比数列．

∴an+1=2n，∴an=2n﹣1．

（2）bn=（2n﹣1）log22n=n（2n﹣1）=n2n﹣n．

∴Tn=12+222+323+…+n2n﹣（1+2+3+…+n）

=12+222+323+…+n2n﹣．

设12+222+323+…+n2n=An，

则122+223+324+…+n2n+1=2An，

两式相减得2+22+23+…+2n﹣n2n+1=﹣An，

∴﹣An=﹣n2n+1=（1﹣n）2n+1﹣2，

∴An=（n﹣1）2n+1+2，

∴Tn=（n﹣1）2n+1+2﹣．

+（n﹣1）2n+1+2>2018

∴n=8