Question

用|S|表示集合S中的元素的个数，设A、B、C为集合，称（A，B，C）为有序三元组．如果集合A、B、C满足|A∩B|=|B∩C|=|C∩A|=1，且A∩B∩C=∅，则称有序三元组（A，B，C）为最小相交．由集合{1，2，3，4}的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为

 

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Answer 1

分析：根据定义，确定 满足条件的集合A，B，C的元素情况即可求出结果．要对集合{1，2，3，4}的子集进行讨论．

解答：解：∵|A∩B|=|B∩C|=|C∩A|=1，
∴设A∩B={x}，B∩C={y}，C∩A={z}，
∵A∩B∩C=∅，且x，y，z∈{1，2，3，4}，
∴①集合{1，2，3，4}中的子集含有4个元素时，
∴从1，2，3，4四个元素选3个有

C

3 4

=4种方法，
将3个元素进行全排列有

A

3 3

=3×2=6种，剩余的一个元素可以分别放入集合A，B，C，有3种，
∴此时共有3×4×6=72种．
②集合{1，2，3，4}中的子集含有3个元素时，
满足集合A，B，C中都只有一个元素．
∴从1，2，3，4四个元素选3个有

C

3 4

=4种方法，
将3个元素进行全排列有

A

3 3

=3×2=6种，
∴此时共有4×6=24种．
综上共有72+24=96个．
故答案为：96．

点评：本题主要考查集合的关系的应用，正确理解新定义是解决本题关键，利用排列组合的知识是解决本题的突破点．注意要讨论集合为4元素集和3元素集时的取值情况．