Question

17．已知S_n为等差数列{a_n}的前n项和，且a₄=19，S₇=2a₉+55．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设lnb_n=a_nln2，求证：数列{b_n}为等比数列，并求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过联立a₄=19、S₇=2a₉+55计算可得首项及公差，进而可得结论；
（2）通过（1）可知a_n=4n+3，进而可知b_n=${2}^{{a}_{n}}$=2⁴ⁿ⁺³，计算可知数列{b_n}是首项为2⁷、公比为2⁴的等比数列，利用等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 （1）解：依题意，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+3d=19}\\{7{a}_{1}+21d=2（{a}_{1}+8d）+55}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=7}\\{d=4}\end{array}\right.$，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=7+4（n-1）=4n+3；
（2）证明：由（1）可知a_n=4n+3，
又∵lnb_n=a_nln2，
∴b_n=${2}^{{a}_{n}}$=2⁴ⁿ⁺³，
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{2}^{4（n+1）+3}}{{2}^{4n+3}}$=2⁴，
又∵b₁=2⁴⁺³=2⁷，
∴数列{b_n}是首项为2⁷、公比为2⁴的等比数列，
∴T_n=$\frac{{2}^{7}（1-{2}^{4n-4}）}{1-{2}^{4}}$=$\frac{{2}^{7}-{2}^{4n+3}}{1-{2}^{4}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．