Question

已知圆C：x²＋y²＝r²(r>0)经过点(1，)．
(1)求圆C的方程；
(2)是否存在经过点(－1,1)的直线l，它与圆C相交于A，B两个不同点，且满足＝＋(O为坐标原点)关系的点M也在圆C上？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

　(1)由圆C：x²＋y²＝r²，再由点(1，)在圆C上，得r²＝1²＋()²＝4
所以圆C的方程为
x²＋y²＝4；
(2)假设直线l存在，
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
M(x₀，y₀)
①若直线l的斜率存在，设直线l的方程为：
y－1＝k(x＋1)，
联立
消去y得，
(1＋k²)x²＋2k(k＋1)x＋k²＋2k－3＝0，
由韦达定理得x₁＋x₂
＝－＝－2＋，
x₁x₂＝＝1＋，
y₁y₂＝k²x₁x₂＋k(k＋1)(x₁＋x₂)＋(k＋1)²＝－3，
因为点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)在圆C上，
因此，得x＋y＝4，
x＋y＝4，
由＝＋得x₀
＝，y₀＝，
由于点M也在圆C上，
则²＋²
＝4，
整理得，＋3＋x₁x₂＋y₁y₂＝4，
即x₁x₂＋y₁y₂＝0，所以1＋＋(－3)＝0，
从而得，k²－2k＋1＝0，即k＝1，因此，直线l的方程为
y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0，
②若直线l的斜率不存在，
则A(－1，)，B(－1，－)，M
²＋²
＝4－≠4，
故点M不在圆上与题设矛盾
综上所知：k＝1，直线方程为x－y＋2＝0

解析