Question

1．设数列{a_n}的前n项$\underset{之}{•}$$\underset{积}{•}$为T_n，且T_n=1-a_n，（n∈N^*）
（I）求a₁，并证明数列{$\frac{1}{1-{a}_{n}}$}是等差数列；
（Ⅱ）设S_n=T${\;}_{1}^{2}$+T${\;}_{2}^{2}$+…+T${\;}_{n}^{2}$，求证：$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$＜S_n＜$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{n+2}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）由T_n=1-a_n，当n=1时，a₁=1-a₁，解得a₁．当n≥2时，T_n-1=1-a_n-1，相除可得：${a}_{n}=\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$=$\frac{1-{a}_{n}}{1-{a}_{n-1}}$，计算$\frac{1}{1-{a}_{n}}$-$\frac{1}{1-{a}_{n-1}}$为常数即可证明结论．
（II）由（I）可得：$\frac{1}{1-{a}_{n}}$=2+（n-1），可得T_n=$\frac{1}{n+1}$．于是S_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$．
首先证明左边：$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$＜S_n．利用$\frac{1}{{n}^{2}+3n+2}$$＜\frac{1}{{n}^{2}+2n+1}$，可得$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$$＜\frac{1}{{n}^{2}+2n+1}$，利用“裂项求和”即可得出．
再证明右边：S_n＜$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{n+2}$（n∈N^*）．当n=1时，当n=2时，直接验证不等式成立．当n≥3时，利用$\frac{1}{（n+1）^{2}}$=$\frac{2}{2{n}^{2}+4n}$＜$\frac{2}{{n}^{2}+5n+6}$=$2（\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）$，即可证明．

解答 （1）解：∵T_n=1-a_n，
∴当n=1时，a₁=1-a₁，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
当n≥2时，T_n-1=1-a_n-1，
∴${a}_{n}=\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$=$\frac{1-{a}_{n}}{1-{a}_{n-1}}$，
化为a_n=$\frac{1}{2-{a}_{n-1}}$，
∴$\frac{1}{1-{a}_{n}}$-$\frac{1}{1-{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{2-{a}_{n-1}}}$-$\frac{1}{1-{a}_{n-1}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{1-{a}_{n}}$}是等差数列，首项为2，公差为1．
（II）证明：由（I）可得：$\frac{1}{1-{a}_{n}}$=2+（n-1），
解得1-a_n=$\frac{1}{n+1}$．
∴T_n=$\frac{1}{n+1}$．
∴S_n=T${\;}_{1}^{2}$+T${\;}_{2}^{2}$+…+T${\;}_{n}^{2}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$，
首先证明左边：$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$＜S_n．
∵$\frac{1}{{n}^{2}+3n+2}$$＜\frac{1}{{n}^{2}+2n+1}$，
∴$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$$＜\frac{1}{{n}^{2}+2n+1}$，
∴S_n＞$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$，
∴$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$＜S_n．
再证明右边：S_n＜$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{n+2}$（n∈N^*）．
当n=1时，$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}-\frac{1}{3}$，不等式成立；
当n=2时，$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}$=$\frac{13}{36}$，$\frac{2}{3}-\frac{1}{4}$=$\frac{5}{12}$=$\frac{15}{36}$，$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}$＜$\frac{2}{3}-\frac{1}{4}$，不等式成立．
当n≥3时，$\frac{1}{（n+1）^{2}}$=$\frac{2}{2{n}^{2}+4n}$＜$\frac{2}{{n}^{2}+5n+6}$=$2（\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）$，
∴S_n＜$2[（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{6}）$+…+$（\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）]$
=2$（\frac{1}{3}-\frac{1}{n+3}）$=$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{n+3}$＜$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{n+2}$．
∴S_n＜$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{n+2}$（n∈N^*）．
综上可得：$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$＜S_n＜$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{n+2}$（n∈N^*）．

点评 本题考查了递推关系的应用、等差数列的通项公式、“放缩法”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．