题目内容
【题目】如图, 四棱锥中, 平面
平面
,
为线段
上一点,
为
的中点.
(1)证明: 平面
;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
试题分析:(1)连接,设
,可证四边形
为平行四边形,得
是
的中点,利用三角形中位线定理可得
进而由线面平行的判定定理可得结论;(2)先证
平面
,分别以
所在直线为
轴,
轴,
为
轴正方向,空间直角坐标系
,分别求出平面
和平面
的法向量,利用空间向量夹角余弦公式可得二面角
的余弦值,进而得结果.
试题解析:(1)证明: 连接,设
,连接
,
四边形
为平行四边形, 且
是
的中点, 又
为
的中点,
平面
平面
平面
.
(2)取的中点
,连接
,由
得
平面
平面
,平面
平面
平面
,在
中,
, 在等腰
中,
, 以
为坐标原点, 分别以
所在直线为
轴,
轴,
为
轴正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系
,由题知,
设是平面
的法向量, 则
,即
.
设是平面
的法向量, 则
,即
得
.
,
二面角
的正弦值为
.
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