Question

如图，在组合体中，ABCD—A₁B₁C₁D₁是一个长方体，P—ABCD是一个四棱锥．AB=2，BC=3，点P平面CC₁D₁D，且PC=PD=．

（1）证明：PD平面PBC；
（2）求PA与平面ABCD所成的角的正切值；
（3）若，当a为何值时，PC//平面．

Answer 1

（1）先证，再证，根据线面垂直的判定定理可证结论
（2）（3）当时，
或建立空间直角坐标系可以用空间向量解决

试题分析：方法一：(1)因为，，
所以为等腰直角三角形，所以． 
因为是一个长方体，所以，
而，所以，所以．
因为垂直于平面内的两条相交直线和，
由线面垂直的判定定理，可得．

(2)过点在平面作于，连接．
因为，所以，
所以就是与平面所成的角．
因为，，所以．    
所以与平面所成的角的正切值为．          
(3)当时，．           
当时，四边形是一个正方形，所以，
而，所以，所以． 
而，与在同一个平面内，所以． 
而，所以，所以．
方法二：(1)证明：如图建立空间直角坐标系，设棱长，
则有，，，．                            
于是，，，
所以，．
所以垂直于平面内的两条相交直线和，
由线面垂直的判定定理，可得．   

(2)解：，所以，而平面的一个法向量为．
所以．所以与平面所成的角的正切值为． 
(3)解：，所以，．
设平面的法向量为，则有，
令，可得平面的一个法向量为．  
若要使得，则要，即，解得．
所以当时，．

点评：解决空间中直线、平面间的位置关系，要紧扣相应的判定定理和性质定理，求线面角时，要注意先作再证再求，要注意线面角的取值范围.