题目内容

设 $数学公式$ ，其中f（x）=lnx．
（Ⅰ）若g（x）在其定义域内为增函数，求实数p的取值范围；
（Ⅱ）证明：f（x）≤x-1；
（Ⅲ）证明： $数学公式$ ．

解：（Ⅰ）∵ $\text{[math]}$ （x＞0），
∴ $\text{[math]}$ ．（1分）
令h（x）=px²-2x+p，要使g（x）在（0，+∞）为增函数，
只需h（x）在（0，+∞）上满足：h（x）≥0恒成立，
即px²-2x+p≥0．即 $\text{[math]}$ 上恒成立．
又∵ $\text{[math]}$ ，（4分）
∴p≥1．（5分）

（Ⅱ）证明：要证lnx≤x-1，
即证lnx-x+1≤0（x＞0），
设k（x）=lnx-x+1， $\text{[math]}$ ．（6分）
当x∈（0，1]时，k'（x）＞0，∴k（x）为单调递增函数；
当x∈（1，+∞）时，k'（x）＜0，∴k（x）为单调递减函数；
∴k（x）_max=k（1）=0．（9分）
即lnx-x+1≤0，∴lnx≤x-1．（10分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知lnx≤x-1，又x＞0，
∴ $\text{[math]}$ ．
∵n∈N^*，n≥2，可令x=n²，得 $\text{[math]}$ ．（12分）
∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：（Ⅰ）要使g（x）在（0，+∞）为增函数，它的导数大于0即可，即 $\text{[math]}$ 上恒成立，利用
基本不等式求出 $\text{[math]}$ 的最大值，p应大于或等于此最大值．
（Ⅱ）只要证明k（x）=lnx-x+1≤0即可，利用它的导数求出函数k（x）的最大值为0，可以得出结论．
（Ⅲ）因为 lnx≤x-1，又x＞0，换元可得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，利用此不等式
化简要证的不等式的左边，再用放缩法可证它小于不等式的右边．
点评：本题考查利用函数的导数判断函数的单调性、求函数的最值，以及利用放缩法证明不等式．