Question

已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）若直线l过点（0，1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）-a（x-1），其中a∈R，求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于（0，1）不是切点，故先假设切点，利用切点处得导数为切线的斜率，再根据过（0，1），从而可求切点的坐标，进一步可求切线的方程；
（Ⅱ）先确定函数的单调区间，再利用区间进行分类讨论，从而求出函数再区间上的最小值．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=lnx+1，x＞0，（2分）
设切点坐标为（x₀，y₀），则y₀=x₀lnx₀，切线的斜率为lnx₀+1，所以lnx0+1= 

y0+1

x0

，（4分）
解得x₀=1，y₀=0，所以直线l的方程为x-y-1=0．（6分）
（Ⅱ）g（x）=xlnx-a（x-1），则g′（x）=lnx+1-a，（7分）
解g′（x）=0，得x=e^a-1，所以在区间（0，e^a-1）上，g（x）为递减函数，在区间（e^a-1，+∞）上，g（x）为递增函数．（8分）
当e^a-1≤1，即a≤1时，在区间[1，e]上，g（x）为递增函数，所以g（x）最小值为g（1）=0．（9分）
当1＜e^a-1＜e，即1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（e^a-1）=a-e^a-1．（10分）
当e^a-1≥e，即a≥2时，在区间[1，e]上，g（x）为递减函数，
所以g（x）最小值为g（e）=a+e-ae．（11分）
综上，当a≤1时，g（x）最小值为0；当1＜a＜2时，g（x）的最小值为a-e^a-1；当a≥2时，g（x）最小值为a+e-ae．（12分）

点评：本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的最值，应用导数的几何意义求切线时，注意点是否为切点．