Question

【题目】已知函数，曲线在点处的切线平行于轴．

（1）求的单调区间；

（2）证明：当时， ．

Answer 1

【答案】（1）递减区间为，递增区间为．（2）见解析

【解析】试题分析：（1）求得的导数，由题意可得，解方程可得，由导数与单调性的关系，结合，可得的单调区间；（2）讨论①当时，求得的最小值，可得结论成立；②当时，设，求出导数，构造函数，求得导数，判断单调性，可得最小值，即可得证.

试题解析：（1）因为， ，

依题意得，即，解得．

所以，显然在单调递增且，

故当时， ；当时， ．

所以的递减区间为，递增区间为．

（2）①当时，由（1）知，当时， 取得最小值．

又的最大值为，故．

②当时，设，

所以，

令， ，则，

当时， ,，所以，

当时， ， ，所以，

所以当时， ，故在上单调递增，

又 ，所以当时， ； 当时， ．

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时， 取得最小值，

所以，即．

综上，当 时， ．