题目内容
【题目】设椭圆
的一个顶点与抛物线
的焦点重合，
，
分别是椭圆
的左、右焦点，离心率
，过椭圆右焦点的直线
与椭圆交于
，
两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线，使得
，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）设点
是一个动点，若直线的斜率存在，且
为
中点，
，求实数
的取值范围．
【答案】(Ⅰ)
；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)
.
【解析】
(Ⅰ)由题意求得a,b,c的值即可确定椭圆方程；
(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理和向量的坐标运算法则求得直线的斜率即可确定直线方程；
(Ⅲ)由题意结合点差法得到
的表达式，结合其表达式求解取值范围即可.
(Ⅰ)抛物线
的焦点坐标为
，故
，
结合
可得：
，故椭圆方程为：.
(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，设
，
假设存在满足题意的直线方程：
，
与椭圆方程联立可得：
，
则
，
则：
，
结合题意和韦达定理有：
，
解得：
，即存在满足题意的直线方程：
.
(Ⅲ)设
，设直线AB的方程为
，
由于：
，
两式作差整理变形可得：
，
即：
. ①
又
②
③
①×②可得：
④
④代入③可得：
⑤
④⑤代入①整理可得：
，
，据此可得：
，
从而.
名校课堂系列答案
【题目】随着人民生活水平的日益提高，某小区居民拥有私家车的数量与日俱增．由于该小区建成时间较早，没有配套建造地下停车场，小区内无序停放的车辆造成了交通的拥堵．该小区的物业公司统计了近五年小区登记在册的私家车数量（累计值，如147表示2016年小区登记在册的所有车辆数，其余意义相同），得到如下数据：
编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
数量 | 37 | 104 | 147 | 196 | 216 |
（1）若私家车的数量
与年份编号
满足线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测2020年该小区的私家车数量；
（2）小区于2018年底完成了基础设施改造，划设了120个停车位．为解决小区车辆乱停乱放的问题，加强小区管理，物业公司决定禁止无车位的车辆进入小区．由于车位有限，物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式将车位对业主出租，租期一年，竞拍方案如下：①截至2018年己登记在册的私家车业主拥有竞拍资格；②每车至多中请一个车位，由车主在竞拍网站上提出申请并给出自己的报价；③根据物价部门的规定，竞价不得超过1200元；④申请阶段截止后，将所有申请的业主报价自高到低排列，排在前120位的业主以其报价成交；⑤若最后出现并列的报价，则以提出申请的时间在前的业主成交，为预测本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的40位业主，进行了竞拍意向的调查，并对他们的拟报竞价进行了统计，得到如图频率分布直方图：
（i）求所抽取的业主中有意向竞拍报价不低于1000元的人数；
（ii）如果所有符合条件的车主均参与竞拍，利用样本估计总体的思想，请你据此预测至少需要报价多少元才能竞拍车位成功？（精确到整数）
参考公式及数据：对于一组数据
，其回归方程
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
；．
