Question

【题目】已知 是数列 的前 项和，并且 ，对任意正整数 ， ，设 （ ）.
（1）证明：数列 是等比数列，并求 的通项公式；
（2）设 ，求证：数列 不可能为等比数列.

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵Sn+1=4an+2，∴Sn=4an-1+2(n≥2)，
两式相减：an+1=4an-4an-1(n≥2)，∴an+1=4(an-an-1)(n≥2)，
∴bn=an+1-2an ，
∴bn+1=an+2-2an+1=4(an+1-an)-2an+1 ， bn+1=2(an+1-2an)=2bn(n∈N*)，
∴ ，∴{bn}是以2为公比的等比数列，
∵b1=a2-2a1 ， 而a1+a2=4a1+2，∴a2=3a1+2=5，b1=5-2=3，
∴bn=32n-1(n∈N*)
（2）解：) ，假设 为等比数列，则有
= , n≥2, 则有 =0
与 ≥1矛盾，所以假设不成立，则原结论成立，即
数列 不可能为等比数列
【解析】（1）根据给出的递推式可得到数列各项之间的关系，代入后可得到与的关系进而求出公比。分别另n=1，2后可求出的首项，即可求出的通项公式。
（2）根据（1）的结论易得的通项，根据化简后得到,，显然不成立，故数列不可能为等比数列。