题目内容

已知
a
=(sinx,cosx)
b
=(
3
cosx,cosx)
,设函数f(x)=
a
b
(x∈R)
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)当x∈[-
π
6
12
]
时,求f(x)的值域.
(1)∵f(x)=
a
b
=
3
2
sin2x+
1
2
cos2x+
1
2
=sin(2x+
π
6
)+
1
2
,∴f(x)的最小正周期为π.
-
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
π
2
+2kπ
得,-
π
3
+kπ≤x≤
π
6
+kπ
,(k∈Z),解得 -
π
3
+kπ≤x≤
π
6
+kπ

故f(x)的单调增区间为[-
π
3
+kπ,
π
6
+kπ
],(k∈Z).
(2)由(1)知f(x)=sin(2x+
π
6
)+
1
2
,又当x∈[-
π
6
12
]
,2x+
π
6
∈[-
π
6
,π]
,故-
1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1

从而f(x)的值域为[0,
3
2
].
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