题目内容

(2012•包头三模)直角坐标系xOy中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的方程为ρ=4cosθ,直线l的方程为
x=-2+
3
2
t
y=
1
2
t
(t为参数),直线l与曲线C的公共点为T.
(1)求点T的极坐标;
(2)过点T作直线l',l'被曲线C截得的线段长为2,求直线l'的极坐标方程.
分析:(1)先将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程,再将直线的参数方程代入直角坐标方程,然后求出交点T的直角坐标,最后化成极坐标即可.
(2)设直线l'的方程,由(1)得曲线C是以(2,0)为圆心的圆,且圆心到直线l'的距离为
3
.利用圆的弦长公式结合点到直线的距离列出等式,求出K值,得直线l'的方程,最后将其化成极坐标方程即可.
解答:解:(1)曲线C的直角坐标方程为x2-4x+y2=0.                   ….(2分)
x=-2+
3
2
t
y=
1
2
t
代入上式并整理得t2-4
3
t+12=0

解得t=2
3
.∴点T的坐标为(1,
3
)
.                        ….(4分)
其极坐标为(2,
π
3
)
…(5分)
(2)设直线l'的方程为y-
3
=k(x-1),即kx-y+
3
-k=0
. ….(7分)
由(Ⅰ)得曲线C是以(2,0)为圆心的圆,且圆心到直线l'的距离为
3

则,
|
3
+k|
k2+1
=
3
.解得k=0,或k=
3

直线l'的方程为y=
3
,或y=
3
x
.                   ….(9分)
其极坐标方程为ρsinθ=
3
或θ=
π
3
(ρ∈R).…(10分)
点评:本题主要考查了简单曲线的极坐标方程,以及直线的参数方程等知识,属于基础题.
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