题目内容

已知二次函数f（x）=ax2+bx-3在x=1处取得极值，且在（0，-3）点处的切线与直线2x+y=0平行．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）=xf（x）+4x的单调递增区间．
分析：（1）先对函数f（x）求导，令f'（1）=0，f'（0）=-2即可得到答案．
（2）将函数f（x）的解析式代入求出函数g（x）的解析式后求导，令导函数大于0求出x的范围即可．
解答：解：（Ⅰ）由f（x）=ax2+bx-3，可得f′（x）=2ax+b．
由题设可得
f′(1)=0
f′(0)=-2.
即
2a+b=0
b=-2.

解得a=1，b=-2．
所以f（x）=x2-2x-3．
（Ⅱ）由题意得g（x）=xf（x）+4x=x3-2x2+x，
所以g′（x）=3x2-4x+1=（3x-1）（x-1）．
令g′（x）=0，得x1=
1
3
，x2=1．精英家教网
所以函数g（x）的单调递增区间为(-∞，
1
3
)，（1，+∞）．
点评：本题主要考查导数的几何意义、导数的正负情况和原函数的增减性的关系．属基础题．
练习册系列答案
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f(x)x-1
．
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