Question

已知函数在上是减函数，在上是增函数，函数在上有三个零点，且1是其中一个零点．
（1）求的值；
（2）求的取值范围；
（3）试探究直线与函数的图像交点个数的情况，并说明理由．

Answer 1

（1）0（2）（3）见解析

（1）解：∵，∴．
∵在上是减函数，在上是增函数，
∴当时，取到极小值，即．
∴．
（2）解：由（1）知，，
∵1是函数的一个零点，即，∴．
∵的两个根分别为，．
∵在上是增函数，且函数在上有三个零点，
∴，即．∴．
故的取值范围为．
（3）解：由（2）知，且．
要讨论直线与函数图像的交点个数情况，
即求方程组解的个数情况．
由，得．
即．
即．
∴或．
由方程，                    （*）
得．
∵，
若，即，解得．此时方程（*）无实数解．
若，即，解得．此时方程（*）有一个实数解．
若，即，解得．此时方程（*）有两个实数解，分别为，．
且当时，，．
综上所述，当时，直线与函数的图像有一个交点．
当或时，直线与函数的图像有二个交点．
当且时，直线与函数的图像有三个交点．