题目内容

如图,棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,BD=2
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(Ⅰ)求点C到平面PBD的距离.
(Ⅱ)在线段PD上是否存在一点Q,使CQ与平面PBD所成的角的正弦值为
2
6
9
,若存在,指出点Q的位置,若不存在,说明理由.
分析:(I)由已知中,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,BD=2
2
,底面ABCD是矩形,我们易求出棱锥VP-BCD的体积,再根据VP-BCD=VC-PBD,我们只要求出△PBD的面积,然后代入棱锥体积公式,即可求出点C到平面PBD的距离.
(II)以A为原点,分别以AB,AD,AP为X,Y,Z轴的正方向建立空间坐标系,则我们易给出各个点的坐标,进而求出CQ的方向向量和平面PBD的法向量,然后根据CQ的方向向量和平面PBD的法向量的夹角的余弦值等于CQ与平面PBD所成的角的正弦值,构造方程,即可求出Q的坐标.
解答:精英家教网解:(Ⅰ)在Rt△BAD中,AD=2,BD=2
2

∴AB=2,ABCD为正方形,因此BD⊥AC.(1分)
∵PA=AB=AD=2,∴PB=PD=BD=2
2
(2分)
设C到面PBD的距离为d,由VP-BCD=VC-PBD
1
3
S△BCD•PA=
1
3
S△PBD•d

1
3
×
1
2
×2×2×2=
1
3
1
2
(2
2
)2•sin600•d
,(4分)
d=
2
3
3
(5分)

(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系
因为Q在DP上,所以可设
DQ
DP
(0<λ<1)
,(6分)
又∵
DP
=(0,-2,2)
AQ
=
AD
+
DQ
=
AD
DP
=(0,2,0)+(0,-2λ,2λ)=(0,2-2λ,2λ)

∴Q(0,2-2λ,2λ),∴
CQ
=(-2,-2λ,2λ)=2(-1,-λ,λ)
.(8分)
易求平面PBD的法向量为
n
=(1,1,1)
,(10分)
所以设CQ与平面PBD所成的角为θ,则有:sinθ=|cos?
CQ
n
>|
=
|
CQ
n
|
|
CQ
||
n
|
=
1
3
1+2λ2
(12分)
所以有
1
3
1+2λ2
=
2
9
6
λ2=
1
16
,∵0<λ<1,∴λ=
1
4
(13分)
所以存在且|DQ|=
1
4
|DP|
(14分)
点评:本题考查的知识点是空间点、线、面的距离计算,及直线与平面所成的解,(I)中利用VP-BCD=VC-PBD,是解答的关键,(II)中求出直线与平面的方向向量和平面的法向量,将线面夹角的正弦值,转化为两个向量的余弦是解答的关键.
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