题目内容

17.已知数列{an}满足${a_1}=\frac{1}{5}$,且当n>1,n∈N*时,有$\frac{{{a_{n-1}}}}{a_n}=\frac{{2{a_{n-1}}+1}}{{1-2{a_n}}}$,
(1)求证:数列$\{\frac{1}{a_n}\}$为等差数列;
(2)试问a1•a2是否是数列{an}中的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明理由.

分析 (1)根据数列的递推关系,利用构造法结合等差数列即可证明数列$\{\frac{1}{a_n}\}$为等差数列;
(2)先求出数列的通项公式以及a1•a2的值,然后进行判断即可.

解答 (1)证明:∵当n>1,n∈N*时,$\frac{{{a_{n-1}}}}{a_n}=\frac{{2{a_{n-1}}+1}}{{1-2{a_n}}}$,
∴an-1-2anan-1=2anan-1+an
又∵an≠0,
∴$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=4$,∴数列$\{\frac{1}{a_n}\}$为等差数列;
(2)∵${a_1}=\frac{1}{5}$,∴${a_2}=\frac{1}{9}$,
∴$\frac{1}{a_n}=5+4(n-1)=4n+1$,∴${a_n}=\frac{1}{4n+1}$,
又∵${a_1}{a_2}=\frac{1}{45}$,若$\frac{1}{45}=\frac{1}{4n+1}$,得n=11,
∴a1a2是数列{an}的 第11项.

点评 本题主要考查数列递推公式的应用,利用构造法以及等差数列的定义是解决本题的关键.

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