题目内容

已知函数f(x)=
1
2
4-x2

(Ⅰ)写出函数f(x)的定义域,并求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设过曲线y=f(x)上的点P的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S,求S的最小值,并求此时点P的坐标.
分析:(Ⅰ)根据负数没有平方根即被开方数大于等于0,列出关于x的不等式,求出不等式的解集即可得到x的取值范围即为函数的定义域,然后求出f(x)的导函数,令导函数大于0列出关于x的不等式,求出不等式的解集即可得到x的取值范围即为函数的增区间;令导函数小于0列出关于x的不等式,求出不等式的解集即可得到x的范围即为函数的减区间;
(Ⅱ)设出切点P的坐标,把横坐标代入到f(x)的导函数中求出对应的导函数值即为切线的斜率,根据设出的P的坐标和求出的斜率写出切线l的方程,然后分别令x=0和y=0求出切线l与y轴和x轴的交点坐标,根据与坐标轴的截距表示出三角形AOB的面积,化简后利用基本不等式即可求出面积的最小值和此时P的坐标.
解答:解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域是[-2,2].
函数f(x)的导函数是f′(x)=
-x
2
4-x2

令f'(x)>0,即
-x
2
4-x2
>0
,解得-2<x<0,所以函数f(x)的递增区间是(-2,0);
令f'(x)<0,即
-x
2
4-x2
<0
,解得0<x<2,所以函数f(x)的递减区间是(0,2).
(Ⅱ)设P(x0,  
1
2
4-x02
)
,则切线的斜率k=f′(x0)=
-x0
2
4-x02

则切线l的方程是y-
1
2
4-x02
=
-x0
2
4-x02
(x-x0)

设切线l与x轴、y轴的交点为A、B,
令y=0,由题意可知x0≠0,解得x=
4
x0
,所以A(
4
x0
,0)

令x=0,解得y=
2
4-x02
,所以B(0,
2
4-
x
2
0
)

所以S△ABO=
1
2
|x||y|=
1
2
|
4
x0
|
2
4-x02
=
4
x02(4-x02)
4
x02+4-x02
2
=2

当且仅当x02=4-x02,即x0
2
时,△ABO面积的最小值为2.
此时,点P的坐标是
2
,  
2
2
)
点评:此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间,会利用基本不等式求函数的最值并掌握最值的几何意义,会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,是一道多知识的综合题.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网