题目内容
已知函数f(x)=1 |
2 |
4-x2 |
(Ⅰ)写出函数f(x)的定义域,并求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设过曲线y=f(x)上的点P的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S,求S的最小值,并求此时点P的坐标.
分析:(Ⅰ)根据负数没有平方根即被开方数大于等于0,列出关于x的不等式,求出不等式的解集即可得到x的取值范围即为函数的定义域,然后求出f(x)的导函数,令导函数大于0列出关于x的不等式,求出不等式的解集即可得到x的取值范围即为函数的增区间;令导函数小于0列出关于x的不等式,求出不等式的解集即可得到x的范围即为函数的减区间;
(Ⅱ)设出切点P的坐标,把横坐标代入到f(x)的导函数中求出对应的导函数值即为切线的斜率,根据设出的P的坐标和求出的斜率写出切线l的方程,然后分别令x=0和y=0求出切线l与y轴和x轴的交点坐标,根据与坐标轴的截距表示出三角形AOB的面积,化简后利用基本不等式即可求出面积的最小值和此时P的坐标.
(Ⅱ)设出切点P的坐标,把横坐标代入到f(x)的导函数中求出对应的导函数值即为切线的斜率,根据设出的P的坐标和求出的斜率写出切线l的方程,然后分别令x=0和y=0求出切线l与y轴和x轴的交点坐标,根据与坐标轴的截距表示出三角形AOB的面积,化简后利用基本不等式即可求出面积的最小值和此时P的坐标.
解答:解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域是[-2,2].
函数f(x)的导函数是f′(x)=
.
令f'(x)>0,即
>0,解得-2<x<0,所以函数f(x)的递增区间是(-2,0);
令f'(x)<0,即
<0,解得0<x<2,所以函数f(x)的递减区间是(0,2).
(Ⅱ)设P(x0,
),则切线的斜率k=f′(x0)=
,
则切线l的方程是y-
=
(x-x0),
设切线l与x轴、y轴的交点为A、B,
令y=0,由题意可知x0≠0,解得x=
,所以A(
,0);
令x=0,解得y=
,所以B(0,
),
所以S△ABO=
|x||y|=
|
|
=
≥
=2,
当且仅当x02=4-x02,即x0=±
时,△ABO面积的最小值为2.
此时,点P的坐标是(±
,
).
函数f(x)的导函数是f′(x)=
-x | ||
2
|
令f'(x)>0,即
-x | ||
2
|
令f'(x)<0,即
-x | ||
2
|
(Ⅱ)设P(x0,
1 |
2 |
4-x02 |
-x0 | ||
2
|
则切线l的方程是y-
1 |
2 |
4-x02 |
-x0 | ||
2
|
设切线l与x轴、y轴的交点为A、B,
令y=0,由题意可知x0≠0,解得x=
4 |
x0 |
4 |
x0 |
令x=0,解得y=
2 | ||
|
2 | ||||
|
所以S△ABO=
1 |
2 |
1 |
2 |
4 |
x0 |
2 | ||
|
4 | ||
|
4 | ||
|
当且仅当x02=4-x02,即x0=±
2 |
此时,点P的坐标是(±
2 |
| ||
2 |
点评:此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间,会利用基本不等式求函数的最值并掌握最值的几何意义,会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,是一道多知识的综合题.
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