题目内容
某工厂生产A、B两种型号的产品，每种型号的产品在出厂时按质量分为一等品和二等品．为便于掌握生产状况，质检时将产品分为每20件一组，分别记录每组一等品的件数．现随机抽取了5组的质检记录，其一等品数茎叶图如图所示：（1）试根据茎叶图所提供的数据，分别计算A、B两种产品为一等品的概率PA、PB；
（2）已知每件产品的利润如表一所示，用ξ、η分别表示一件A、B型产品的利润，在（1）的条件下，求ξ、η的分布列及数学期望（均值）Eξ、Eη；
（3）已知生产一件产品所需用的配件数和成本资金如表二所示，该厂有配件30件，可用资金40万元，设x、y分别表示生产A、B两种产品的数量，在（2）的条件下，求x、y为何值时，z=xEξ+yEη最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）
| 等级 利润 产品 | 一等品 | 二等品 |
| A型 | 4（万元） | 3（万元） |
| B型 | 3（万元） | 2（万元） |
| 表二 |
| 表二 |
| 项目 用量 产品 | 配件（件） | 资金（万元） |
| A型 | 6 | 4 |
| B型 | 2 | 8 |
【答案】分析：（1）根据所给的产品的总数和由茎叶图知每一种一等品的件数，得到A、B两种产品为一等品的概率．
（2）根据表一所给的利润，结合茎叶图求出变量对应的概率，写出分布列，求出期望值．
（3）根据题意写出约束条件和目标函数，作出可行域，作直线l：3.68x+2.71y=0，将向l右上方平移至l1位置时，
即直线经过可行域上的点M时，z=取最大值．得到结果．
解答：解：（1）根据所给的产品的总数和由茎叶图知每一种一等品的件数，
得到A、B两种产品为一等品的概率，
；
．
（2）∵P（ξ=4）=0.68，P（ξ=3）=0.32
P（η=3）=0.71，P（η=2）=0.29
∴随机变量ξ、η的分布列
∴Eξ=4×0.68+3×0.32=3.68，Eη=3×0.71+2×0.29=2.71．
（3）由题设知
，目标函数为z=xEξ+yEη=3.68x+2.71y，
作出可行域如图所示
作直线l：3.68x+2.71y=0，将向l右上方平移至l1位置时，
即直线经过可行域上的点M时，z=3.68x+2.71y取最大值．
解方程组
，得x=4，y=3，
即x=4，y=3时，z取最大值，最大值是22.85
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查线性规划的实际应用，考查读茎叶图和表格，考查利用数学知识解决实际问题，本题是一个基础题．
（2）根据表一所给的利润，结合茎叶图求出变量对应的概率，写出分布列，求出期望值．
（3）根据题意写出约束条件和目标函数，作出可行域，作直线l：3.68x+2.71y=0，将向l右上方平移至l1位置时，
即直线经过可行域上的点M时，z=取最大值．得到结果．
解答：解：（1）根据所给的产品的总数和由茎叶图知每一种一等品的件数，
得到A、B两种产品为一等品的概率，
；．（2）∵P（ξ=4）=0.68，P（ξ=3）=0.32
P（η=3）=0.71，P（η=2）=0.29
∴随机变量ξ、η的分布列
| ξ | 4 | 3 |
| P | 0.68 | 0.32 |
| η | 3 | 2 |
| P | 0.71 | 0.29 |
∴Eξ=4×0.68+3×0.32=3.68，Eη=3×0.71+2×0.29=2.71．
（3）由题设知
，目标函数为z=xEξ+yEη=3.68x+2.71y，作出可行域如图所示
作直线l：3.68x+2.71y=0，将向l右上方平移至l1位置时，
即直线经过可行域上的点M时，z=3.68x+2.71y取最大值．
解方程组
，得x=4，y=3，即x=4，y=3时，z取最大值，最大值是22.85
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查线性规划的实际应用，考查读茎叶图和表格，考查利用数学知识解决实际问题，本题是一个基础题．
练习册系列答案
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某工厂生产A、B两种型号的产品，每种型号的产品在出厂时按质量分为一等品和二等品．为便于掌握生产状况，质检时将产品分为每20件一组，分别记录每组一等品的件数．现随机抽取了5组的质检记录，其一等品数茎叶图如图所示：（1）试根据茎叶图所提供的数据，分别计算A、B两种产品为一等品的概率PA、PB；
（2）已知每件产品的利润如表一所示，用ξ、η分别表示一件A、B型产品的利润，在（1）的条件下，求ξ、η的分布列及数学期望（均值）Eξ、Eη；
（3）已知生产一件产品所需用的配件数和成本资金如表二所示，该厂有配件30件，可用资金40万元，设x、y分别表示生产A、B两种产品的数量，在（2）的条件下，求x、y为何值时，z=xEξ+yEη最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）
表一
| 等级 利润 产品 |
一等品 | 二等品 |
| A型 | 4（万元） | 3（万元） |
| B型 | 3（万元） | 2（万元） |
| 项目 用量 产品 |
配件（件） | 资金（万元） |
| A型 | 6 | 4 |
| B型 | 2 | 8 |