题目内容
【题目】已知点,圆
,过点
的动直线
与圆
交于
两点,线段
的中点为
,
为坐标原点.
(Ⅰ)求的轨迹方程;
(Ⅱ)当(
不重合)时,求
的方程及
的面积.
【答案】(I);(II)
(或
) ,
【解析】
(Ⅰ)由圆C的方程求出圆心坐标和半径,设出M坐标,由与
数量积等于0列式得M的轨迹方程;
(Ⅱ)设M的轨迹的圆心为N,由|OP|=|OM|得到ON⊥PM.求出ON所在直线的斜率,由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程,由点到直线的距离公式求出O到l的距离,再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度,代入三角形面积公式得答案.
(I)圆C的方程可化为,∴圆心为
,半径为4,设
,
∴由题设知
,即
.由于点
在圆
的内部,所以
的轨迹方程是
.
(II)由(I)可知的轨迹是以点
为圆心,
为半径的圆.
由于,故
在线段
的垂直平分线上,又
在圆
上,从而
.
∵的斜率为3
∴
的方程为
.(或
).又
,
到
的距离为
,
,∴
的面积为
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