Question

17．设f（x）为定义在$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上的函数，若对于任意的x∈[-1，1]，都有f（arcsinx）+3f（-arcsinx）=arccosx成立，则函数f（x）的值域为[-$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]．

Answer 1

分析 $令arcsinx=t（-\frac{π}{2}≤t≤\frac{π}{2}），则arccosx=\frac{π}{2}-t，f（t）+3f（-t）=\frac{π}{2}-t$，将t换为-t，用方程法可求得解析式f（t）=$\frac{π}{8}$+$\frac{1}{2}$t，故得出答案．

解答 解：令arcsinx=t（-$\frac{π}{2}$≤t≤$\frac{π}{2}$），
则arccosx=$\frac{π}{2}$-t，
即有f（t）+3f（-t）=$\frac{π}{2}$-t，
将t换为-t，可得f（-t）+3f（t）=$\frac{π}{2}$+t，
解得f（t）=$\frac{π}{8}$+$\frac{1}{2}$t，
即有f（x）=$\frac{π}{8}$+$\frac{1}{2}$x，（-$\frac{π}{2}$≤x≤$\frac{π}{2}$），
则有f（x）∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]．
故答案为：[-$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]．

点评 本题考查函数的解析式的求法和值域，考查反正弦函数和反余弦函数的关系及性质，属于中档题．