题目内容

已知向量 $数学公式$ =（x²-3，1）， $数学公式$ =（x，-y）（其中实数x和y不同时为零），当|x|＜2时，有 $数学公式$ ⊥ $数学公式$ ，当|x|≥2时， $数学公式$ ∥ $数学公式$ ．
（I）求函数式y=f（x）；
（II）若对?x∈（-∞，-2}∪[2，+∞），都有mx²+x-3m≥0，求实数m的取值范围．

解：（I）当|x|＜2时，由 $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ 得
$\text{[math]}$ 得（x²-3）x-y=0，y=x³-3x（|x|＜2且x≠0）；
当|x|≥2时，由 $\text{[math]}$ ，得y=- $\text{[math]}$ ，
∴y=f（x）= $\text{[math]}$
（II）对?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），都有mx²+x-3m≥0即m（x²-3）≥-x，
也就是m≥ $\text{[math]}$ 对?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）恒成立，
由（2）知当|x|≥2时，f′（x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞0
∴函数f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）都单调递增
又f（-2）= $\text{[math]}$ =2，f（2）=-2
当x≤-2时f（x）= $\text{[math]}$ ＞0，
∴当x∈（-∞，-2]时，0＜f（x）≤2同理可得，当x≥2时，有-2≤f（x）＜0，
综上所述得，对x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），f（x）取得最大值2；
∴实数m的取值范围为m≥2．
分析：（I）因为当|x|＜2时， $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ 得到y与x的关系式；当|x|≥2时， $\text{[math]}$ ，得到 y与x的另一关系式，联立得到f（x）为分段函数；
（II）根据mx²+x-3m≥0解出m≥ $\text{[math]}$ ，分区间讨论x的范围得到f（x）的最大值，让m大于等于最大值即可求出m的范围．
点评：考查学生利用导数研究函数单调性的能力，学会用数量积判断两个向量的垂直关系，理解平行向量及共线向量满足的条件，熟悉分段函数的解析式，理解函数恒成立时所取的条件．