题目内容

已知向量
a
=(1，
3
)，
b
=(cosx，sinx)，函数f(x)=
a
•
b
．
（1）求函数f（x）的最值及相应的x值；
（2）若方程f（x）-m=0在x∈[0，2π]上有两个不同的零点x1、x2，试求x1+x2的值以及相应m的取值范围．
分析：（1）通过向量的数量积，两角和的正弦函数，化简函数的表达式，然后求函数f（x）的最值及相应的x值；
（2）通过x∈[0，2π]求出相位的范围，通过函数的图象求解方程有两个不同的零点x1、x2，推出x1+x2的值以及相应m的取值范围．
解答：解：（1）f(x)=
a
•
b
=cosx+
3
sinx=2sin(x+
π
6
)．…（2分）
最大值为2，相应的x=2kπ+
π
3
，k∈Z；…（4分）
最小值为-2，相应的x=2kπ-
2π
3
，k∈Z．…（6分）
（2）f(x)=2sin(x+
π
6
)，x∈[0，2π]，所以x+
π
6
∈[
π
6
，
13π
6
]．
在同一坐标系中作出y=2sin(x+
π
6
)，x∈[0，2π]和y=m的图象，
由数形结合法可知：m∈（-2，1）∪（1，2）．…（8分）
当m∈（-2，1）时，x1+x2=
8π
3
；…（10分）
当m∈（1，2）时，x1+x2=
2π
3
．…（12分）
点评：本题考查向量的数量积，两角和的正弦函数的应用，三角函数值域的求法，考查计算能力．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(1， -3)，  
b
=(-2，  m)，且
a
⊥(
a
-
b
)．
（1）求实数m和
a
与
b
的夹角；
（2）当k
a
+
b
与
a
-
b
平行时，求实数k的值．
已知向量
a
=(1，3)，
b
=(3，x)，若
a
⊥
b
，则实数x的值为（　　）
已知向量
a
=(1，
3
)，
b
=(-2，2
3
)，则
a
、
b
的夹角是（　　）
已知向量
a
=(1，3)，则与向量
a
平行的一个单位向量是
（
10
10
，
3
10
10
）或（-
10
10
，-
3
10
10
）
（
10
10
，
3
10
10
）或（-
10
10
，-
3
10
10
）
．
已知向量
a
=(1，
3
)，
b
=(-1，1)，则(
a
+
b
)•(
a
-
b
)=（　　）

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