题目内容
已知向量
=（x2-3，1），
=（x，-y）（其中实数x和y不同时为零），当|x|＜2时，有
⊥
，当|x|≥2时，
∥
．
（I）求函数式y=f（x）；
（II）若对?x∈（-∞，-2}∪[2，+∞），都有mx2+x-3m≥0，求实数m的取值范围．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（I）求函数式y=f（x）；
（II）若对?x∈（-∞，-2}∪[2，+∞），都有mx2+x-3m≥0，求实数m的取值范围．
分析：（I）因为当|x|＜2时，
⊥
得
•
=0得到y与x的关系式；当|x|≥2时，
∥
，得到 y与x的另一关系式，联立得到f（x）为分段函数；
（II）根据mx2+x-3m≥0解出m≥
，分区间讨论x的范围得到f（x）的最大值，让m大于等于最大值即可求出m的范围．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（II）根据mx2+x-3m≥0解出m≥
| x |
| 3-x2 |
解答：解：（I）当|x|＜2时，由
⊥
得
•
=0得（x2-3）x-y=0，y=x3-3x（|x|＜2且x≠0）；
当|x|≥2时，由
∥
，得y=-
，
∴y=f（x）=
（II）对?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），都有mx2+x-3m≥0即m（x2-3）≥-x，
也就是m≥
对?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）恒成立，
由（2）知当|x|≥2时，f′（x）=
=
＞0
∴函数f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）都单调递增
又f（-2）=
=2，f（2）=-2
当x≤-2时f（x）=
＞0，
∴当x∈（-∞，-2]时，0＜f（x）≤2同理可得，当x≥2时，有-2≤f（x）＜0，
综上所述得，对x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），f（x）取得最大值2；
∴实数m的取值范围为m≥2．
| a |
| b |
| a |
| b |
当|x|≥2时，由
| a |
| b |
| x |
| x2-3 |
∴y=f（x）=
|
（II）对?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），都有mx2+x-3m≥0即m（x2-3）≥-x，
也就是m≥
| x |
| 3-x2 |
由（2）知当|x|≥2时，f′（x）=
| (3-x2)-x(-2x) |
| (3-x2) 2 |
| 3+x 2 |
| (3-x2) 2 |
∴函数f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）都单调递增
又f（-2）=
| -2 |
| 3-4 |
当x≤-2时f（x）=
| x |
| 3-x2 |
∴当x∈（-∞，-2]时，0＜f（x）≤2同理可得，当x≥2时，有-2≤f（x）＜0，
综上所述得，对x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），f（x）取得最大值2；
∴实数m的取值范围为m≥2．
点评：考查学生利用导数研究函数单调性的能力，学会用数量积判断两个向量的垂直关系，理解平行向量及共线向量满足的条件，熟悉分段函数的解析式，理解函数恒成立时所取的条件．
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