Question

关于函数f（x）=（sinx+cosx）•cosx，给出下列命题：
①f（x）的最小正周期为2π；
②f（x）在区间(0，

π

8

)上为增函数；
③直线x=-

3π

8

是函数f（x）图象的一条对称轴；
④对任意x∈R，恒有f(x-

π

4

)+f(-x)=1．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，求出函数的周期判断①的正误；利用x的范围判断函数的单调性，即可判断②的正误；通过x的值判断函数的极值点判断③的正误；利用函数的对称中心判断④的正误．

解答：解：f(x)=sinxcosx+cos2x=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

，周期为π，①错误；
当x∈(0，

π

8

)时，2x+

π

4

∈(

π

4

，

π

2

)⊆[-

π

2

，

π

2

]，②正确；
当x=-

3π

8

时，2x+

π

4

=-

π

2

，③正确；
由f（x）图象关于点(-

π

8

，

1

2

)中心对称知f(x-

π

4

)+f(-x)=1，④正确．
故答案为：②③④．

点评：本题考查两角和与差的三角函数，正弦函数的单调性对称性周期性，基本知识的综合应用，考查计算能力．