题目内容
9.已知在△ABC中,存在唯一的点G,使得若$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$,这个点G是△ABC的重心,那么在四边形ABCD中,是否存在唯一的点P,使得$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{0}$?若存在,请证明,若不存在,请说明理由.分析 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),P(x,y),利用$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{0}$,建立方程求出P的坐标即可.
解答 解:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),P(x,y),则
∵$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{0}$,
∴(x1-x,y1-y)+(x2-x,y2-y)+(x3-x,y3-y)+(x4-x,y4-y)=(0,0,0,0),
∴(x1+x2+x3+x4)-4x=0,(y1+y2+y3+y4)-4y=0,
∴x=$\frac{1}{4}$(x1+x2+x3+x4),y=$\frac{1}{4}$(y1+y2+y3+y4),
∴存在唯一的点P($\frac{1}{4}$(x1+x2+x3+x4),$\frac{1}{4}$(y1+y2+y3+y4),使得$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{0}$.
点评 本题考查向量知识的运用,考查类比推理,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
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A. | 最小正周期为$\frac{π}{2}$的偶函数 | B. | 最小正周期为$\frac{π}{2}$的奇函数 | ||
C. | 最小正周期为π的偶函数 | D. | 最小正周期为π的奇函数 |