Question

给出下列5个命题：
①0＜a≤

1

5

是函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为单调减函数的充要条件；
②如图所示，“嫦娥探月卫星”沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用2C_l和2_c2分别表示摘圆轨道I和II的焦距，用2a₁和2a₂分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则有c₁a₂＞a₁c₂；
③函数y=f（x）与它的反函数y=f^-1（x）的图象若相交，则交点必在直线y=x上；
④己知函数f（x）=log_a（1-ax）在（O，1）上满足，f′（x）＞0，贝U

1

1-a

＞1+a＞

2a

；
⑤函数f（x）=

tan2x+ (1+i)2 i +1

tan2x+2

（x≠kπ+

π

2

），k∈Z，/为虚数单位）的最小值为2；
其中所有真命题的代号是

 

．

Answer 1

分析：①利用二次函数的性质，由其在区间（-∞，4]上为单调减函数解出参数的取值范围，依据依据充要条件的定义进行判断即可
②由椭圆的性质进行判断即可；
③利用特例说明其不成立即可；
④利用对数函数单调性的性质进行判断即可得到结论；
⑤化简，构造出积为定值的形式用基本不等式判断出最小值是否是2．

解答：解：对于①：函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为单调减函数，若a=0时成立，若a＞0时，必有

a-1

a

≥4解得a≤-

1

3

无解，故可得出a=0，由此知①中的条件与结论之间是既不充分也不必要条件．故不是真命题；
②由椭圆的性质知a₁-C_l=a₂-c₂，即有a₂+C_l=a₁+c₂，此四数构成一个等差数列，由基本不等式得c₁a₂＞a₁c₂，故此命题正确；
③y=f（x）与它的反函数y=f^-1（x）的图象图象重合时，其公共点可以不在y=x上；
④导数大于0，说明对数函数在（O，1）上是增函数，又内层函数减，故外层函数减，所以a∈（O，1），验证知

1

1-a

＞1+a＞

2a

成立，故命题正确；
⑤函数f（x）=

tan2x+ (1+i)2 i +1

tan2x+2

=

tan2x+3

tan2x+2

=

1

tan2x+2

+

tan 2x+2

≥2，由于

1

tan2x+2

=

tan 2x+2

不成立，故最小值取不到．此命题不正确．
综上②④是正确命题
故答案为②④

点评：本题作为一个判断命题真假的题目，涉及到了函数的单调性椭圆的性质等内容，题目较难判断，每一个知识点都是高考中比较重要的，从中总结下对命题的考试与这些知识的衔接吧．