题目内容

给出下列5个命题：①函数f（x）=x|x|+ax+m是奇函数的充要条件是m=0；②若函数f（x）=lg（ax+1）的定义域是{x|x＜1}，则a＜-1；③若loga2＜logb2，则
lim
n→∞
an-bn
an+bn
=1（其中n∈N*）；④圆：x2+y2-10x+4y-5=0上任意一点M关于直线ax-y-5a=2的对称点M'也在该圆上；⑤函数y=cos|x|是周期函数．其中正确结论的序号是
①④⑤
①④⑤
．（填写你认为正确的所有结论序号）
分析：依据各选项中的已知条件，逐一分析各个各个选项是否正确，把正确的选项找出来，填在横线上．
解答：解：①函数f（x）的定义域是实数集R，关于原点对称，此函数奇函数的充要条件是f（-x）=-f（x），即-x|x|-ax+m=-x|x|-ax-m，即 m=0，故①正确．
②函数f（x）=log（ax+1）的定义域是{x|x＜l}，故 a＜0，且ax+1＞0的解集是x＜l，故只有a=-1，故②不正确．
③∵loga2＜logb2，∴a＞b＞1，或者
b＞1
0＜a ＜1
，
当a＞b＞1时，则
lim
n→∞
an-bn
an+bn
=
lim
n→∞
 
1- (
b
a
)n
1+(
b
a
)n
=
1-0
1+0
=1，
当 b＞1 且 0＜a＜1时，则
lim
n→∞
an-bn
an+bn
=
lim
n→∞
 
0-(-b)n
0+bn
=（-1）n=±1，
故③不正确．
④圆：x2+y2-10x+4y-5=0 即 （x-5）2+（y+2）2=34，圆心为（5，-2）
直线ax-y-5a=2 即a（x-5）-y-2=0，此直线过定点（5，-2），即圆的圆心，故圆：x2+y2-10x+4y-5=0 关于此直线
对称，故④正确．
⑤函数y=cos|x|是周期为π的周期函数．故⑤正确．
综上，①④⑤正确，②③不正确，
故答案为 ①④⑤．
点评：本题考查函数的奇偶性、周期性、定义域、直线过定点、点关于直线对称，以及极限的运算，体现了等价转化和分类讨论的数学思想．
练习册系列答案
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③若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥m；
④若α∥β，l∥α，m?β，则l∥m；
⑤若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥β．
其中正确命题的个数是（　　）
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②二次函数在其定义域内至多有两个零点；
③指数函数在其定义域内没有零点；
④对数函数在其定义域内只有一个零点；
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其中，正确命题的序号分别是
①②③④⑤
①②③④⑤
．（不写、少写、多写都不得分！）
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①0＜a≤
1
5
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④若a∈（π，
5π
4
），则
1
1-tanα
＞1+tanα＞
2tanα
；
⑤函数f（x）=
e-x+3
e-x+2
（e是自然对数的底数）的最小值为2．
其中所有真命题的代号有
②④
②④
．
（2013•怀化二模）如图展示了一个由区间（0，k）（其中k为一正实数）到实数集R上的映射过程：区间（0，k）中的实数m对应线段AB上的点M，如图1；将线段AB围成一个离心率为
3
2
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现给出下列5个命题①f(
k
2
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k
2
，0)对称；⑤函数f(m)=3
3
时AM过椭圆的右焦点．其中所有的真命题是（　　）

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