Question

已知圆的方程x²+y²=25，过M（-4，3）作直线MA，MB与圆交于点A，B，且MA，MB关于直线y=3对称，则直线AB的斜率等于

 

．

Answer 1

分析：不难看出M在圆上，MA，MB关于直线y=3对称，则直线MA，MB的斜率相反，
得到两条直线方程，解出A、B 坐标，可求直线AB的斜率．

解答：解：由题意可知：M在圆上，MA，MB关于直线y=3对称，则直线MA，MB的斜率相反，
设直线MA的斜率为k，则直线MB的斜率为-k，MA的方程：kx-y+4k+3=0，
MB的方程：kx+y-4k-3=0．
联立MA和圆的方程即：

kx-y+4k+3=0 x2+y2=25

M（-4，3）设A（x₂，y₂）
消y可得 x²+k²x²+（8k²+6k）x+（4k+3）²-25=0
由韦达定理知x2-4=-

8k2+6k

1+k2

，x2=-

8k2+6k

1+k2

+4
y2=k( -

8k2+6k

1+k2

+4)+4k+4
同理B（x₃，y₃）∴x3=-

8k2-6k

1+k2

+4
y3=-k( -

8k2-6k

1+k2

+4)-4k+4
直线AB的斜率为：

y3-y2

x3-x2

=

-k( - 8k2-6k 1+k2 +4)-4k+4- (k( - 8k2+6k 1+k2 +4)+4k+4)

- 8k2-6k 1+k2 +4- (- 8k2+6k 1+k2 +4)

=-

16

12

=-

4

3

故答案为：-

4

3

．

点评：本题考查直线与圆的方程及其应用，直线的斜率，思路清晰解答麻烦，稍有疏忽就会出错，是中档题．