题目内容

(本题满分14分)

已知数列的前项和为,且 (N*),其中

(Ⅰ) 求的通项公式;

(Ⅱ) 设 (N*).

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①证明:

② 求证:.

(Ⅰ) n(Ⅱ)见解析


解析:

(Ⅰ)当时,由.  …ks5u

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2分

若存在

从而有,与矛盾,所以.

从而由.  ………ks5u

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6分

 (Ⅱ)①证明:

证法一:∵

 

.………………10分

证法二:,下同证法一.           ks5u

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 …………ks5u

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10分

证法三:(利用对偶式)设

.又,也即,所以,也即

又因为,所以.即

                     ks5u

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 ………………10分

证法四:(数学归纳法)①当时, ,命题成立;

   ②假设时,命题成立,即,

   则当时,

    即

故当时,命题成立.

综上可知,对一切非零自然数,不等式②成立.         ks5u

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  ………………10分

②由于

所以

从而.

也即………………14分

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