题目内容
【题目】已知函数f(x)=x2+2mx+2lnx,m∈R.
(1)探究函数f(x)的单调性;
(2)若关于x的不等式f(x)≤2+3x2在(0,+∞)上恒成立,求m的取值范围.
【答案】(1)当时,函数
在
上单调递增;当
时,函数
在
和
上单调递增,在
上单调递减;(2)
.
【解析】
(1)求出,分两种情况讨论
的范围,在定义域内,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(2)题中不等式等价于,
,设
,利用导数研究函数的单调性,可得
为
的极小值点,即
,从而可得结果.
(1)依题意,,
,
若,则
,故
,故函数
在
上单调递增;
当时,令
,解得
;
若,则
,
,故函数
在
上单调递增;
若,则当
时,
,当
时,
,当
时,
;
综上所述:当时,函数
在
上单调递增;
当时,函数
在
和
上单调递增,在
上单调递减.
(2)题中不等式等价于,即
,
因此,
设,
则,
,
当时,
,即
,
单调递减;
当时,
,即
,
单调递增;
因此为
的极小值点,
即,
故,
故实数m的取值范围为.
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