题目内容

1．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，△ABC是等边三角形，D是AC的中点．
（1）证明：平面C1BD⊥平面A1ACC1；
（2）若E为线段AB1上的动点，证明：三棱锥E-BC1D的体积为定值．

分析 （1）证明平面C1BD⊥平面A1ACC1，可利用面面垂直的判断，证明平面C1BD经过平面A1ACC1的一条垂线，由等腰三角形中线性质得BD垂直AC，再由已知AA1⊥底面ABC，得BD垂直AA1，然后利用线面垂直的判断得BD⊥平面A1ACC1，则结论得到证明；
（2）证明AB1∥平面E-BC1D，说明线段AB1上的动点E到底面BC1D的距离为定值，则结论得证．

解答 证明：（1）如图，
∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，∴BD垂直AC，
∵AA1⊥底面ABC，∴BD垂直AA1，
又AA1∩AC=A，∴BD⊥平面A1ACC1，
∵BD?平面C1BD，
∴平面C1BD⊥平面A1ACC1；
（2）连接B1C，交BC1于O，
连接OD，则OD∥AB1，
∴AB1∥平面BC1D，
又E为线段AB1上的动点，∴E到平面BC1D的距离相等，
∴三棱锥E-BC1D的体积为定值．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．

练习册系列答案
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………………
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