Question

11．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知首项a₁=3，且S_n+1+S_n=2a_n+1，试求此数列的通项公式a_n及前n项和S_n．

Answer 1

分析 通过S_n+1+S_n=2a_n+1，得S_n+2+S_n+1=2a_n+2，两式相减，得a_n+2=3a_n+1，从而数列{a_n}是以3为首项，从第二项起是以3为公比的等比数列，计算即可•

解答 解：∵S_n+1+S_n=2a_n+1，∴S_n+2+S_n+1=2a_n+2，
两式相减，得：a_n+2+a_n+1=2a_n+2-2a_n+1，即a_n+2=3a_n+1，
又∵首项a₁=3，S_n+1+S_n=2a_n+1，
∴a₂+2a₁=2a₂，即a₂=6，
∴数列{a_n}是以3为首项，从第二项起是以3为公比的等比数列，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，}&{n=1}\\{{2×3}^{n-1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
S_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，}&{n=1}\\{3+\frac{6×（1-{3}^{n-1}）}{1-3}={3}^{n}，}&{n≥2}\end{array}\right.$•

点评 本题考查递推关系，等比数列的通项公式、前n项和公式，利用递推关系是解决本题的关键，属于中档题•