Question

17．已知数列{a_n}满足.$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{{a}_{2}}$+..+$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{5}{24}$（5²ⁿ-1）．n∈N．则数列{a_n}的通项公式为$\frac{n}{{5}^{2n-1}}$．

Answer 1

分析 由已知条件分别取n，n-1，把得到的两个式子作差相减得到$\frac{n}{{a}_{n}}$的表达式，由此能求出数列{a_n}的通项公式．

解答 解：∵$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{{a}_{2}}$+..+$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{5}{24}$（5²ⁿ-1），n∈N①
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{{a}_{2}}$+..+$\frac{n-1}{{{a}_{n-1}}^{\;}}$=$\frac{5}{24}$（5^2（n-1）-1）．n≥2，②
①-②，得：$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{5}{24}（{5}^{2n}-\frac{{5}^{2n}}{25}）$=$\frac{1}{5}×{5}^{2n}$=5^2n-1，
∴a_n=$\frac{n}{{5}^{2n-1}}$．
故答案为：$\frac{n}{{5}^{2n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意迭代法的合理运用．