题目内容
18．
如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的点，AC是∠BAF的平分线，过点C作CD⊥AF，交AF的延长线于点D．（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）过C点作CM⊥AB，垂足为M，求证：AM•MB=DF•DA．
分析 （1）连OC证明OC⊥CD，即可说明CD是圆O的切线．
（2）利用切割线定理，以及射影定理证明AM•MB=DF•DA．
解答 
证明：（1）连OC∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，
∵∠FAC=∠OAC，
∴∠OCA=∠FAC，∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，
∴CD是圆O的切线 …（5分）
（2）∵AC平分∠PAB，
CM⊥AB，
CD⊥AF，
∴CD=CM，
又根据切割线定理有CD2=DF•DA，
∵△ACB为直角三角形且CM⊥AB，
∴CM2=AM•MB．
∴AM•MB=DF•DA …（10分）
点评 本题考查圆的切线的证明，切割线定理以及射影定理的应用，考查逻辑推理能力．
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