Question

6．已知函数f（x）=2sin（$\frac{x}{3}$-$\frac{π}{6}$），x∈R
（1）求f（$\frac{5π}{4}$）的值；
（2）设x，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（3α+$\frac{π}{2}$）=$\frac{10}{13}$．f（3β+2π）=$\frac{2}{5}$，求cos（α+β）和sin（α-β）

Answer 1

分析 （1）直接结合函数解析式，进行代入求解即可；
（2）首先，借助于已知条件，并结合已知解析式，求解sinα=$\frac{5}{13}$，cosβ=$\frac{1}{5}$，然后，再借助于两角和与差的三角函数进行求解．

解答 解：（1）∵f（x）=2sin（$\frac{x}{3}$-$\frac{π}{6}$），x∈R
∴f（$\frac{5π}{4}$）=2sin（$\frac{1}{3}$×$\frac{5π}{4}$-$\frac{π}{6}$）
=2sin$\frac{π}{4}$
=$\sqrt{2}$，
∴f（$\frac{5π}{4}$）的值为$\sqrt{2}$；
（2）f（3α+$\frac{π}{2}$）
=2sin[$\frac{1}{3}$（3α+$\frac{π}{2}$）-$\frac{π}{6}$]
=2sinα=$\frac{10}{13}$．
∴sinα=$\frac{5}{13}$，
∵f（3β+2π）
=2sin[$\frac{1}{3}$（3β+2π）-$\frac{π}{6}$]
=2sin（β+$\frac{π}{2}$）
=2cosβ=$\frac{2}{5}$，
∴cosβ=$\frac{1}{5}$，
∵α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴cosα=$\frac{12}{13}$，sinβ=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
=$\frac{12}{13}×\frac{1}{5}-\frac{5}{13}×\frac{2\sqrt{6}}{5}$
=$\frac{12-10\sqrt{6}}{65}$，
sin（α-β）
=sinαcosβ-cosαsinβ
=$\frac{5}{13}×\frac{1}{5}$-$\frac{12}{13}×\frac{2\sqrt{6}}{5}$
=$\frac{5-24\sqrt{6}}{65}$．

点评 本题重点考查了特殊角的三角函数，诱导公式，两角和与差的三角函数等知识，属于中档题．