题目内容

已知向量
a
=(1， -3)，  
b
=(-2，  m)，且
a
⊥(
a
-
b
)．
（1）求实数m和
a
与
b
的夹角；
（2）当k
a
+
b
与
a
-
b
平行时，求实数k的值．
分析：（1）由题意先求
a
-
b
=（3，-3-m），再由
a
⊥(
a
-
b
)得
a
•(
a
-
b
)=0建立m的方程即可求得m的值，进而由公式求得
a
与
b
的夹角；
（2）先求出k
a
+
b
与
a
-
b
的坐标，再利用向量共线的坐标表示公式即可求得k的值．
解答：解：（1）由题意
a
-
b
=（3，-3-m），由
a
⊥(
a
-
b
)得
a
•(
a
-
b
)=0
所以3+9+3m=0，解得m=-4，即
b
=(-2，  -4)
所以cos＜
a
，
b
＞=
1×(-2)+(-3)×(-4)
12+(-3)2
×
(-2)2+(-4)2
=
2
2

又0≤＜
a
，
b
＞≤π，所以
a
与
b
的夹角为
π
4
…5分
（2）k
a
+
b
=（k-2，-3k-4），
a
-
b
=（3，1）
当k
a
+
b
与
a
-
b
平行时，有k-2-3（-3k-4）=0
解得k=-1…9分
点评：本题考查向量的平行与垂直的条件，属于基础题，熟练掌握垂直与平行的条件是解题的关键
练习册系列答案
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已知向量
a
=(1，
3
)，
b
=(-2，0)，则|
a
+
b
|=
 
．
已知向量
a
=(1，1)，
b
=(2，3)，向量λ
a
-
b
垂直于y轴，则实数λ=
 
．
已知向量
a
=(1，
1-x
x
)， 
b
=(x-1，1)，则|
a
+
b
|的最小值是（　　）
已知向量
a
=(1，1，2)与
b
=(-1，k，3)垂直，则实数k的值为
-5
-5
．
（2011•西城区二模）已知向量
a
=(1，
3
)，
a
+
b
=(0， 
3
)，设
a
与
b
的夹角为θ，则θ=
120°
120°
．

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