题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的的单调区间;
(2)若恒成立,试确定实数
的取值范围;
(3)证明:.
【答案】(1)当时,
在
上是增函数,当
时,
在
上是增函数,在
上是减函数;(2)
;(3)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)函数的定义域为
,分
和
两种情况分类讨论,即可求解函数的单调性;(2)由(1)知
时,
不成立,故
,又由(1)知
的最大值为
,只需
即可,即可求解
;(3)由(2)知,当
时,有
在
恒成立,且
在
上是减函数,进而
,则
,即
,即可证明结论.
试题解析:(1) 函数的定义域为
,
当时,
在
上是增函数,
当时,若
时,有
,
若时,有
,则
在
上是增函数,在
上是减函数.
(2)由(1)知时,
在
上是增函数,而
不成立,故
,又由(1)知
的最大值为
,要使
恒成立,则
即可,
即,得
.
(3)由(2)知,当时,有
在
恒成立,且
在
上是减函数,
,即
,在
上恒成立,令
,则
,
即,从而
得证.
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