Question

4．如图，矩形ABCD中，BC=1，AB=$\sqrt{2}$，O是AB的中点，PD⊥平面ABCD，求证：PO⊥AC．

Answer 1

分析 连接OD，以D为原点，分别以$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{DP}$的方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可得：A，C，O，D坐标，解得$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{DO}$的坐标，由$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DO}$=0可证AC⊥DO，又PD⊥AC，DO∩PD=D，可证AC⊥平面PDO，从而可证PO⊥AC．

解答 证明：如图，连接OD，以D为原点，分别以$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{DP}$的方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
∵矩形ABCD中，BC=1，AB=$\sqrt{2}$，O是AB的中点，PD⊥平面ABCD，
∴可得：A（-1，0，0），C（0，$\sqrt{2}$，0），O（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），D（0，0，0），解得：$\overrightarrow{AC}$=（1，$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{DO}$=（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
∴解得：$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DO}$=-1+$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$+0=0，
∴AC⊥DO，
又∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，即PD⊥AC，DO∩PD=D，
∴AC⊥平面PDO，
∵PO?平面PDO，
∴PO⊥AC．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的性质，空间向量及应用，考查了推理论证能力，属于中档题．